En una entrada anterior vimos porque la crisis del coronavirus COVID-19 ha sido tan difícil de prever para algunos gobiernos. Una epidemia se puede descontrolar muy fácilmente, pero los epidemiólogos tienen técnicas para predecirlas, una de esas técnicas es el modelo SIR, trata de predecir los infectados que va a haber en un determinado momento.
Los políticos hablan de la curva continuamente, hablan de la curva en todos los programas de televisión, hay hashtags en twitter y el otro día bajé a comprar el pan y la panadera me dijo que a ver si aplanábamos más la curva, que ya tocaba.
Los políticos hablan de la curva continuamente, hablan de la curva en todos los programas de televisión, hay hashtags en twitter y el otro día bajé a comprar el pan y la panadera me dijo que a ver si aplanábamos más la curva, que ya tocaba.
La idea de la curva o el pico de contagiados es sencilla pero aún así hay muchos medios que lo explican mal.
La curva representa el número de contagios activos, es decir descontando aquellos que se han recuperado o que han fallecido y el pico de curva se alcanza cuando el número de recuperados + fallecidos diarios supera al de nuevos infectados.
Vamos a ver esto en https://www.worldometers.info/coronavirus/ la famosa página web que nos permite hacer el seguimiento de todos los datos públicos sobre la incidencia del coronavirus.
Vamos a meternos en Corea del Sur, que ya llegó al pico de la curva hace un tiempo y se aprecia claramente.
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| Casos activos en Corea del Sur https://www.worldometers.info/coronavirus/country/south-korea/ |
Justo abajo tenemos los nuevos contagios diarios.
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| Nuevos casos en Korea del Sur. |
Por eso en España y en otros países nos parece que hemos estado llegando al pico todos los días desde hace 2 semanas, porque los medios a veces se referían a otra cosa.
La importancia de la curva de contagiados.
La idea básica de por qué es importante la curva de contagios la tenemos todos: El COVID19 no es letal, pero si todo el mundo se pone enfermo al mismo tiempo no se les puede atender adecuadamente, así que hay que intentar extender los contagios en el tiempo.
Pero veamos un poco más acerca de como se puede estimar o predecir esta curva, para luego fardar de erudición con los colegas en el bar digo en Whassap.
El Modelo SIR
Es el modelo más sencillo para predecir como se propaga una epidemia en una población.
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| Población de individuos y como transicionan de un grupo a otro. |
Cuando hablamos de epidemias, en una población podemos clasificar a los individuos en 3 grupos:
- Susceptibles: Son aquellas personas que pueden contagiarse porque no son inmunes. En el dibujito de arriba son los muñecos de color blanco.
- Infectados: Son aquellas personas que ya han contraído la enfermedad y que estarán enfermos durante una temporada y durante ese tiempo pueden contagiar a los demás. En el dibujo son los de color negro.
- Recuperados: Son las personas que ya se han curado y ya no pueden contagiar a nadie ni tampoco volver a contagiarse. En el dibujo están en color gris.
S de Susceptibles, I de Infectados, R de Recuperados, de ahí viene el nombre SIR, los epidemiólogos son gente muy seria y no anda perdiendo el tiempo inventando nombrecitos.
Este es el modelo más básico, aquí no nace ni muere nadie, ni hay otros grupos distintos de ser susceptible, infectado o recuperado. Luego hay otros modelos más sofisticados como el SIR-v que incluye vacunas, el SEIR que divide Infectados en Expuestos e Infecciosos (porque no siempre un infectado es capaz de infectar a otros desde el primer día) y muchos más que a medida que se aproximan más a la realidad se vuelven más complicados y añaden más conceptos y más parámetros.
Y precisamente lo que hace el modelo es tratar de predecir como las personas se van moviendo de un grupo a otro.
Vamos a suponer que las personas Susceptibles, Infectadas y Recuperadas se encuentran mezclados uniformemente, que es lo que suele ocurrir cuando el gobierno no hace test masivos a toda la población (salvo con enfermedades como el sarampión que son muy visibles).
Como es una mezcla uniforme, todos los susceptibles tienen las mismas probabilidades de infectarse.
Si cada vez que un susceptible y un infectado se encuentran se produce una infección entonces solo puede ocurrir una cosa: con el tiempo el número de susceptibles desciende y el número de infectados aumenta.
El número de contagios, en cada instante de tiempo, es proporcional tanto al número de infectados como al número de susceptibles y esto lo podemos ver muy claro en las dos situaciones extremas:
Hasta aquí bien, solo hemos usado el sentido común, pero falta algo, no todas las enfermedades se transmiten con la misma facilidad. Por eso se introduce un parámetro β (beta) que indica la tasa de transmisión.
Solo falta una cosa, saber como varía el número de recuperados.
El número de nuevas recuperaciones va a ser proporcional al número de infectados activos. Cuando hay muchos infectados se producen muchas recuperaciones nuevas y viceversa. Esta vez también tenemos que añadir un parámetro nuevo γ (gamma), que índica la probabilidad de que un infectado pase a recuperado.
La tasa de transmisión β (beta) afecta a como de rápido crece el número de Infectados activos (descendiendo el número de Susceptibles) y la tasa de recuperación γ afecta a como de rápido crece el número de Recuperados y desciende la de Infectados.
El número básico de reproducción o R0 es igual β/γ. Este número indica a cuantas personas puede contagiar a un infectado antes de curarse. Siempre que este número sea mayor que 1 tenemos un problema, sobre todo cuando no existe vacuna ni tratamiento conocido. Cuando aparece una nueva enfermedad que tiene un R0 mayor que 1, la OMS se dedica a alertar a los distintos países, que a veces se preparan y a veces no.
Para resolver el modelo SIR (y predecir el número de infectados futuros) hace falta recurrir a las ecuaciones diferenciales, pero no os asustéis porque hay algunas páginas web que las resuelven por nosotros. Como por ejemplo http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/sir.html
Veamos un primer ejemplo. Una enfermedad super cabrona en la tasa de transmisión es 10 veces superior a la tasa de recuperación (R0 = 10). Partiendo de un 1% de infectados en poco tiempo el 60% de la población está infectada al mismo tiempo. La línea azul es la cantidad de infectados en cada momento, casos activos.
Ahora vamos a ver como representar el COVID-19 en España de manera realista.
La tasa de recuperación (gamma) es 1/ (número medio de días que dura la infección). Si el número medio de días es 24, tenemos un gamma de 0.041666.
El valor de R0 no está claro, vamos a poner que R0 es 2.6 tal y como dicen algunos estudios. Y como sabemos que R0 es beta/gamma, llegamos a la conclusión que beta es 0.108333.
Metemos 47 millones de personas de susceptibles, 1000 infectados (que son los que teníamos el 9 de Marzo) y le damos al botón.
Nos sale que a los 150 días tendríamos 10 millones de infectados al mismo tiempo (no acumulados, como solemos ver en las estadísticas, sino al mismo tiempo), es decir, casos activos.
Si un cierto porcentaje de estos infectados necesita tratamiento médico estamos jodidos.
El parámetro β de una enfermedad no es fijo, depende de τ (tau) que es la transmisibilidad del virus y de c que es la tasa de contacto.
La transmisibilidad del virus depende de cosas como si se transmite por el aire, cuanto dura en una superficie etc. Factores que dependen de la morfología del virus, si es pequeño puede transmitirse por el aire, si su capsula es resistente puede aguantar más tiempo fuera de un cuerpo etc.
La τ o transmisibilidad del virus puede verse afectada por cuestiones climáticas, como la temperatura o la humedad del aire. En el caso del COVID-19 hay expertos que dicen que puede descender con el calor, pero no hay nada confirmado.
La tasa de contacto depende de la frecuencia en la que un susceptible se encuentra con un infectado. Depende de la densidad de población, del estilo de vida (cariñoson o rancio) de los habitantes etc. Por eso la enfermedad no está afectando igual a todos los países.
En esta caso si que podemos actuar para disminuir la tasa de contacto:
Este es el modelo más básico, aquí no nace ni muere nadie, ni hay otros grupos distintos de ser susceptible, infectado o recuperado. Luego hay otros modelos más sofisticados como el SIR-v que incluye vacunas, el SEIR que divide Infectados en Expuestos e Infecciosos (porque no siempre un infectado es capaz de infectar a otros desde el primer día) y muchos más que a medida que se aproximan más a la realidad se vuelven más complicados y añaden más conceptos y más parámetros.
¿Cómo funciona el modelo SIR?
En este modelo tan sencillo, el número de personas es siempre constante. Ni nacimientos, ni defunciones, ni viajes, ni nada. Lo único que puede ocurrir es que una persona cambie de grupo.Y precisamente lo que hace el modelo es tratar de predecir como las personas se van moviendo de un grupo a otro.
Vamos a suponer que las personas Susceptibles, Infectadas y Recuperadas se encuentran mezclados uniformemente, que es lo que suele ocurrir cuando el gobierno no hace test masivos a toda la población (salvo con enfermedades como el sarampión que son muy visibles).
Como es una mezcla uniforme, todos los susceptibles tienen las mismas probabilidades de infectarse.
Si cada vez que un susceptible y un infectado se encuentran se produce una infección entonces solo puede ocurrir una cosa: con el tiempo el número de susceptibles desciende y el número de infectados aumenta.
El número de contagios, en cada instante de tiempo, es proporcional tanto al número de infectados como al número de susceptibles y esto lo podemos ver muy claro en las dos situaciones extremas:
- Cuando en un país solo hay 1 infectado y todos los demás son susceptibles el número de nuevos contagios es muy pequeño, solo se pueden contagiar las pocas personas que tengan la mala suerte de cruzarse con el único infectado del país.
- Cuando casi el mundo está contagiado el número de nuevos contagios también es muy bajo, porque solo se pueden contagiar las pocas personas susceptibles.
Hasta aquí bien, solo hemos usado el sentido común, pero falta algo, no todas las enfermedades se transmiten con la misma facilidad. Por eso se introduce un parámetro β (beta) que indica la tasa de transmisión.
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| El post está quedando un poco largo, descansemos un rato. |
Resumen hasta el momento
El número de personas permanece constante, un susceptible se contagia al entrar en contacto con un infectado y además un infectado puede infectar a muchas o pocas personas según sea β, la transmisibilidad.Solo falta una cosa, saber como varía el número de recuperados.
El número de nuevas recuperaciones va a ser proporcional al número de infectados activos. Cuando hay muchos infectados se producen muchas recuperaciones nuevas y viceversa. Esta vez también tenemos que añadir un parámetro nuevo γ (gamma), que índica la probabilidad de que un infectado pase a recuperado.
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| Las formulas diferenciales del modelo SIR |
¿Cómo evoluciona la curva de contagios?
Como hemos estado viendo tenemos 3 tipos de ciudadanos: Susceptibles, Infectados y Recuperados.La tasa de transmisión β (beta) afecta a como de rápido crece el número de Infectados activos (descendiendo el número de Susceptibles) y la tasa de recuperación γ afecta a como de rápido crece el número de Recuperados y desciende la de Infectados.
El número básico de reproducción o R0 es igual β/γ. Este número indica a cuantas personas puede contagiar a un infectado antes de curarse. Siempre que este número sea mayor que 1 tenemos un problema, sobre todo cuando no existe vacuna ni tratamiento conocido. Cuando aparece una nueva enfermedad que tiene un R0 mayor que 1, la OMS se dedica a alertar a los distintos países, que a veces se preparan y a veces no.
Para resolver el modelo SIR (y predecir el número de infectados futuros) hace falta recurrir a las ecuaciones diferenciales, pero no os asustéis porque hay algunas páginas web que las resuelven por nosotros. Como por ejemplo http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/sir.html
Veamos un primer ejemplo. Una enfermedad super cabrona en la tasa de transmisión es 10 veces superior a la tasa de recuperación (R0 = 10). Partiendo de un 1% de infectados en poco tiempo el 60% de la población está infectada al mismo tiempo. La línea azul es la cantidad de infectados en cada momento, casos activos.
La tasa de recuperación (gamma) es 1/ (número medio de días que dura la infección). Si el número medio de días es 24, tenemos un gamma de 0.041666.
El valor de R0 no está claro, vamos a poner que R0 es 2.6 tal y como dicen algunos estudios. Y como sabemos que R0 es beta/gamma, llegamos a la conclusión que beta es 0.108333.
Metemos 47 millones de personas de susceptibles, 1000 infectados (que son los que teníamos el 9 de Marzo) y le damos al botón.
Si un cierto porcentaje de estos infectados necesita tratamiento médico estamos jodidos.
¿Cómo se modifican los parámetros?
El parámetro γ (gamma) depende del número de días que está una persona infectada, como no existe tratamiento no podemos hacer nada aquí.El parámetro β de una enfermedad no es fijo, depende de τ (tau) que es la transmisibilidad del virus y de c que es la tasa de contacto.
La transmisibilidad del virus depende de cosas como si se transmite por el aire, cuanto dura en una superficie etc. Factores que dependen de la morfología del virus, si es pequeño puede transmitirse por el aire, si su capsula es resistente puede aguantar más tiempo fuera de un cuerpo etc.
La τ o transmisibilidad del virus puede verse afectada por cuestiones climáticas, como la temperatura o la humedad del aire. En el caso del COVID-19 hay expertos que dicen que puede descender con el calor, pero no hay nada confirmado.
La tasa de contacto depende de la frecuencia en la que un susceptible se encuentra con un infectado. Depende de la densidad de población, del estilo de vida (cariñoson o rancio) de los habitantes etc. Por eso la enfermedad no está afectando igual a todos los países.
En esta caso si que podemos actuar para disminuir la tasa de contacto:
- Juntandonos menos personas, por ejemplo nada de ir a conciertos, manifestaciones o mítines políticos.
- Suspendiendo clases.
- Reduciendo la actividad económica a lo esencial.
- ...
Imaginemos que conseguimos bajar el R0 a la mitad respecto al último ejemplo.
Tendríamos una R0 de 1.3 que se corresponde con una beta de 0.05416.
Ejecutamos la simulación con los mismos datos y el resultado no tiene nada que ver.
Tardaríamos casi dos años en alcanzar el pico máximo de contagios, que apenas sería de 50.000 casos a la vez. Y realmente nunca llegaría a ser tal, dado que en 2 años si que habría vacuna y tratamiento.
En el caso de España, después de 3 semanas de confinamiento hemos conseguido que R0 baje de 1, lo que nos da una curva aún más plana.
Una epidemia real no es como en los modelos matemáticos, a cada nueva medida tomada por un gobierno los valores cambian, por eso la curva de contagios real de un país no es fácil de predecir, pero la podemos ver en Wordometers.
Si visitamos https://www.worldometers.info/coronavirus/country/spain/ podemos ver la evolución diaria de los infectados activos en España, cuando tengamos un par de días en los que esta cifra baja entonces estaremos seguros de que hemos llegado al pico de la curva.
Hasta entonces mucho ánimo.
Si te aburres puedes leer alguna entrada más de este blog.
Para hacer esta entrada y la anterior he leído un libro super interesante que se titula "Las matemáticas vigilan tu salud" y se puede conseguir en Amazon. Es un libro bastante ameno de leer donde se tratan estos temas y muchos más.
Tendríamos una R0 de 1.3 que se corresponde con una beta de 0.05416.
Ejecutamos la simulación con los mismos datos y el resultado no tiene nada que ver.
En el caso de España, después de 3 semanas de confinamiento hemos conseguido que R0 baje de 1, lo que nos da una curva aún más plana.
¿Entonces que pasa con el pico?
Íbamos camino de tener la primera curva, pero con las medidas de confinamiento impuestas el número básico de reproducción o R0 ha caído bruscamente.Una epidemia real no es como en los modelos matemáticos, a cada nueva medida tomada por un gobierno los valores cambian, por eso la curva de contagios real de un país no es fácil de predecir, pero la podemos ver en Wordometers.
Si visitamos https://www.worldometers.info/coronavirus/country/spain/ podemos ver la evolución diaria de los infectados activos en España, cuando tengamos un par de días en los que esta cifra baja entonces estaremos seguros de que hemos llegado al pico de la curva.
Hasta entonces mucho ánimo.
Si te aburres puedes leer alguna entrada más de este blog.
Para hacer esta entrada y la anterior he leído un libro super interesante que se titula "Las matemáticas vigilan tu salud" y se puede conseguir en Amazon. Es un libro bastante ameno de leer donde se tratan estos temas y muchos más.
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Referencias
https://www.worldometers.info/Hans Nesse - Global Health - SIR Model La web para simular el modelo SIR
Wang, H., Wang, Z., Dong, Y., Chang, R., Xu, C., Yu, X., ... & Wang, Y. (2020). Phase-adjusted estimation of the number of coronavirus disease 2019 cases in Wuhan, China. Cell Discovery, 6(1), 1-8. El paper del que he sacado el R0 = 2.6,
accesible aquí.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ritmo_reproductivo_b%C3%A1sico
Las matemáticas vigilan tu salud: Modelos sobre epidemias y vacunas (El Café Cajal). Amazon
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